Divisibilité par 7 puissance 9 - Corrigé

Énoncé

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) . Montrer que, si \(7\) divise \(n^{10}\) , alors \(N=\dfrac{n^{10}}{7}\) est divisible par \(7^{9}\) .

Solution

Comme \(7\) divise \(n^{10}\) et \(7\) est premier, on en déduit que \(7\) divise \(n\) . Ainsi, il existe un entier \(m \in \mathbb{N}\) tel que \(n=7m\) .
On en déduit que \(n^{10}=(7m)^{10}=7^{10}m^{10}\) ,
et donc  \(\begin{align*}N=\frac{n^{10}}{7}=\frac{7^{10}m^{10}}{7}=7^9m^{10}=7^9m'\end{align*}\)  
avec \(m'=m^{10} \in \mathbb{N}\) , donc \(N\) est divisible par \(7^9\) .